Léon Azoulay est né le 31 janvier 1862 à Alger, de l’union d’Israël Azoulay et d’Adèle Azoubib. Après avoir décroché son baccalauréat ès Lettres, il quitte Alger, en prise avec des manifestations antisémites, et se rend à Paris. Il y débute ses études à la Faculté de médecine, entre 1885 et 1889. L’année 1892 est particulièrement chargée pour Léon Azoulay, qui présente sa thèse et accueille Yvonne Azoulay, son premier enfant, née de son mariage l’année précédente avec Jeanne Régnault. Cette dernière est la sœur de Félix Régnault, né à Rennes, dont la rencontre avec Léon Azoulay est cruciale : médecin de formation, il introduit Léon Azoulay auprès de la Société d’Anthropologie et inspire le prochain musée phonographique par ses « chronophotographies » tournées lors de l’Exposition ethnographique de l’Afrique occidentale, au Champ de Mars, en 1895.
Après s’être impliqué fortement dans l’essor de la science phonographique, le Docteur Léon Azoulay se recentre sur son cœur de métier et vit entre Saint-Tropez et Paris. Parallèlement, il poursuit son engagement dans de nombreuses sociétés scientifiques, et promeut de meilleures politiques publiques de santé. Cet engagement est souligné dans La Fronde, le premier quotidien féministe, qui salue « le Docteur Azoulay qui s’est toujours intéressé activement aux progrès sociaux et politiques ». Léon Azoulay s’implique dans les soins aux populations les plus fragiles, participe à l’accueil des réfugiés à Paris durant la Première Guerre mondiale, milite par des articles et tribunes pour une politique de santé ambitieuse contre la syphilis.
Dans les dernières années de sa vie, il s’engage pour l’éducation populaire à l’hygiène publique des écoliers. Effaré par le nombre d’intoxications, il est également à l’initiative d’une proposition de loi pour réguler la vente et la consommation de champignons sauvages. À 64 ans, Léon Azoulay décède le 30 mars 1926, à Nice, après une vie marquée par des projets d’envergure dans le domaine scientifique et médical. Il est enterré à Saint Tropez.